sqrt(2) の sqrt(2) の sqrt(2) … 乗乗乗
無限テトレーション
√2の肩に無限に√2を乗せたらなぜ2になるのか
https://www.youtube.com/watch?v=LABUpfm-rF0
という動画があった．
コメントに
@y2q588
第一感は平均値の定理を使ってf(x)=sqrt(2)^xが縮小写像となる範囲を求めて絶対収束を示す...とか考えたけど，帰納法でよかったのか．
https://www.youtube.com/watch?v=LABUpfm-rF0&lc=Ugz_TsCbfobpCnt_TW54AaABAg@user-fy3un1wz3b
これ平均値の定理使って証明できそう？
anと2の間の増加量を考えて、、
https://www.youtube.com/watch?v=LABUpfm-rF0&lc=Ugx2aoynqYoj4SSrnvZ4AaABAg@Mega11041104
それ十分条件ですよね。だからX＝2である必要性が示されてない。より具体的にいえばX＝1.9辺りでx =(√2)^xを満たす値が出てきたらどうするんですか？それも複数の値が存在してたりしたらどうしますか？
https://www.youtube.com/watch?v=LABUpfm-rF0&lc=UgyTkoal2aUA1K2RyMN4AaABAg.9ijLvnPXkRn9ikip6fHEGf@dttjjm287
漸化式で極限を取る時、y=xとy=Sqrt[2]^xが点列連続である事を使ってるね．
漸化式は任意の自然数に対して成り立つ等式であって、充分大きい自然数の時にある位相で測った時に近いところにある点(極限点)をいつでも代入できるとは限らないことに注意したい．
https://www.youtube.com/watch?v=LABUpfm-rF0&lc=UgzErbYLhe0fISFBqh54AaABAg
こういう話が出ている．高校数学で普通に示せるので示そう．
Wikipedia の テトレーション には
これが e−e ≤ x ≤ e1/e （およそ 0.066 から 1.44）の範囲で収束することはオイラーによって示された[12]。
とあって，
http://eulerarchive.maa.org//docs/originals/E532.pdf
の 35,36,37 ページ目に不等式はあるのだが，収束を示しているのがどういう論理かはさっぱりわからん．
で，証明を書こうとしていたんだが，広島大学理系2022年第5問がまさにそれらしい．
同志社2011理系，福島県立医科大学2019も類題とのこと．
2022年 04月 09日
広島大学理系2022年第５問
https://mathmathmass.exblog.jp/31149281/
に，数列の極限を考える問題として解法とともに紹介されている．
補足事項として
3本の直線は，
- y = x green
- y = sqrt(2) ^x red
- y = (ln 2) x + 2 ln 2 blue
である．
補足をしておく．
a_0 = 1 としたとき，点 A からスタートし，点 B の y 座標が sqrt(2) である．そのまま直線 y = x に移動させて点 C を得て，点 C の x 座標が sqrt(2) となる…と2線の間を ↑→ ↑→ ↑→ … と辿っていくと x 座標を得続けた数列がちょうど a_n と同じになる．
始点を (2, 2), (4, 4) にとると，その場から動かないので，これらは不動点と呼ばれる．