f(x)=2 f(2x) を満たす関数について
問題
関数方程式を満たす関数f(x)を求めよ.
発見的解法
考察1
であるときを考える.
とすると,
より,(1)を満たす.
全ての実数で定義されていることが必要であれば,
と定義すればよい.
であるから,
であることがすぐ分かる.
考察2
同様に考えて,(
は任意の定数)と定義すると,このような関数は条件(1)を満たす.
考察3
では,このような関数のみが条件を満たすかというと,そのようなことはない.例えばと定めたとして,影響を受けるような
はどのような
か考えてみる.
(
は整数)を満たすような
については,
が直ちに分かる.逆に,それ以外の
の値は定めない.
よって,次の関数は条件を満たす.グラフをかくと,ところどころで穴が開いたようなグラフになる.
考察4
別の関数方程式を満たす関数の場合,https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1487297239,https://oshiete.goo.ne.jp/qa/8700628.html等から以下のことが分かる.
実数全体で定義される連続関数であれば,(
は任意の定数)である.
で定義される連続関数であるとする.
とすると,
を満たす.よって,関数
は条件(2)を満たす.つまり,定数関数ではないが,条件を満たす関数はいくらでも構成できる.
考察5
関数方程式(1)を満たす,で定義される連続関数について再度考察する.前項を利用すると,以下のような解が構成できる.
とすると,
を満たす.関数
は条件(1)を満たす.
についても,この範囲で連続な関数が
や
のようにすれば構成できる.
まとめ
関数方程式について,以下のことが分かる.
- 関数
は,すべての実数で定義される連続関数で,条件を満たす.
- 関数
(
は任意の定数)は,
で連続で,条件を満たす.
- 関数
(
は任意の定数)は,
で連続で,条件を満たす.
- 不連続な関数であれば,いくらでも見つかる.
分かっていないことに,例えば以下のことがある.
で連続な関数で,定数関数
でない関数は解として存在するか.
構成的解法
全ての実数で連続
が全ての実数で定義され,連続であるとし,関数方程式の解について考察する.
より,任意の自然数
に対して,
であることが数学的帰納法を用いて証明できる.よって,任意の整数
に対して,
であることも証明できる.
とする.
関数はで連続であるから,任意の実数
に対し,ある実数
が存在し,
を満たす任意の実数
について,
である.以下,
,
は固定する.
を満たす,ある実数
を固定する.自然数
に対して,
と定めると,
である.また,
であるから,
である.\\
(i) のとき,
であるから,
である.このとき
であり,条件を満たす.\\
(ii) のとき,
である.
であるから,
について,
を満たすような自然数
が存在する.このような自然数
に対して,
である.つまり,
である.これは,
の連続性に矛盾する.(背理法は嫌いだけど用いた)
従って,のみ適する.
以上の議論は を満たす任意の実数
について成り立つ.よって,
ならば
である.
さて,とは限らない,任意の実数
を別にとる.任意の実数
に対し,
が
を満たすような自然数
が存在する.このとき,
である.
よって,であるから,
である.
以上より,任意の実数に対して
である.
で連続
と
について別々に考えてよく,対称性から
のときだけを考えれば十分である.
で定義される周期1の連続関数を任意に定め,
とする.つまり,
を満たす.また,関数
を
と定める.このとき,任意の自然数
に対し,
である.
は
で連続である(証明略).
このとき,関数を
と定める.関数
は
であるので,関数方程式(1)を満たす.
よって,関数方程式を満たす関数が,任意の周期1の周期関数に対して,それぞれ異なるように構成できる.
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