f(x)=2 f(2x) を満たす関数について

2020/07/04 21:55:052020/07/07 22:17:42

問題

関数方程式 $f(2x)=\frac 12f(x)\quad(1)$ を満たす関数f(x)を求めよ．

発見的解法

考察1

$x\neq0$ であるときを考える． $f(x)=\frac 1x$ とすると， $f(2x)=\frac 1{2x}=\frac 12f(x)$ より，(1)を満たす．

全ての実数 $x$ で定義されていることが必要であれば， $f(0)=0$ と定義すればよい． $f(2\cdot0)=\frac 12f(0)$ であるから， $f(0)=0$ であることがすぐ分かる．

考察2

同様に考えて， $f(x)=\begin{cases}c\cdot\frac 1x & (x\neq0)\\0 & (x=0)\end{cases}$ （ $c$ は任意の定数）と定義すると，このような関数は条件(1)を満たす．

考察3

では，このような関数のみが条件を満たすかというと，そのようなことはない．例えば $f(1)=1$ と定めたとして，影響を受けるような $x$ はどのような $x$ か考えてみる．

$x=2^{n}$ （ $n$ は整数）を満たすような $x$ については， $f(2^{n})=\frac 1{2^{n}}f(1)=\frac 1{2^{n}}$ が直ちに分かる．逆に，それ以外の $x$ の値は定めない．

よって，次の関数は条件を満たす． $f(x)=\begin{cases}-\frac 1x & (x:\,\mathrm{otherwise})\\ \frac 1x & (x=2^{n},\,n\in\mathbf{Z})\\ 0 & (x=0) \end{cases}$ グラフをかくと，ところどころで穴が開いたようなグラフになる．

考察4

別の関数方程式 $f(x)=f(2x)\quad(2)$ を満たす関数の場合，https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1487297239，https://oshiete.goo.ne.jp/qa/8700628.html等から以下のことが分かる．

実数全体で定義される連続関数であれば， $f(x)=c$ （ $c$ は任意の定数）である．

$x>0$ で定義される連続関数であるとする． $g(x)=2\pi\cdot\log_{2}x$ とすると， $g(2x)=g(x)+2\pi$ を満たす．よって，関数 $f(x)=\sin\left(g(x)\right)$ は条件(2)を満たす．つまり，定数関数ではないが，条件を満たす関数はいくらでも構成できる．

考察5

関数方程式(1)を満たす， $x>0$ で定義される連続関数について再度考察する．前項を利用すると，以下のような解が構成できる． $g_{2\pi}(x)=2\pi\cdot\log_{2}x$ とすると， $g_{2\pi}(2x)=g_{2\pi}(x)+2\pi$ を満たす．関数 $f(x)=\frac 1x\cdot\sin\left(g_{2\pi}(x)\right)$ は条件(1)を満たす．

$x<0$ についても，この範囲で連続な関数が $f(x)=\frac 1x\cdot\sin\left(g_{2\pi}(\left|x\right|)\right)$ や $f(x)=\frac 1{\left|x\right|}\cdot\sin\left(g_{2\pi}(\left|x\right|)\right)$ のようにすれば構成できる．

まとめ

関数方程式 $f(2x)=\frac 12f(x) (1)$ について，以下のことが分かる．

関数 $f(x)=0$ は，すべての実数で定義される連続関数で，条件を満たす．
関数 $f(x)=\begin{cases}c\cdot\frac 1x & (x\neq0)\\ 0 & (x=0) \end{cases}$ （ $c$ は任意の定数）は， $x\neq0$ で連続で，条件を満たす．
関数 $f(x)=\begin{cases}c\cdot\frac 1x\cdot\sin\left(2\pi\cdot\log_{2}\left|x\right|\right) & (x\neq0)\\ 0 & (x=0) \end{cases}$ （ $c$ は任意の定数）は， $x\neq0$ で連続で，条件を満たす．
不連続な関数であれば，いくらでも見つかる．

分かっていないことに，例えば以下のことがある．

$x=0$ で連続な関数で，定数関数 $f(x)=0$ でない関数は解として存在するか．

構成的解法

全ての実数で連続

$f(x)$ が全ての実数で定義され，連続であるとし，関数方程式の解について考察する．

$f(2x)=\frac 12f(x)$ より，任意の自然数 $n$ に対して， $f(2^{n}x)=\frac 1{2^{n}}f(x)$ であることが数学的帰納法を用いて証明できる．よって，任意の整数 $n$ に対して， $f(2^{n}x)=2^{-n}\cdot f(x)$ であることも証明できる．

$f(0)=c$ とする．

関数は $x=0$ で連続であるから，任意の実数 $\varepsilon>0$ に対し，ある実数 $\delta>0$ が存在し， $\left|x-0\right|<\delta$ を満たす任意の実数 $x$ について， $\left|f(x)-c\right|<\varepsilon$ である．以下， $\varepsilon$ ， $\delta$ は固定する．

$\left|x_{0}-0\right|<\delta$ を満たす，ある実数 $x_{0}$ を固定する．自然数 $N$ に対して， $x_{N}=\frac 1{2^{N}}x_{0}$ と定めると， $\left|x_{N}-0\right|=\left|\frac 1{2^{N}}x_{0}\right|<\frac 1{2^{N}}\delta<\delta$ である．また， $f(x_{N})=f\left(\frac 1{2^{N}}x_{0}\right)=2^{N}f(x_{0})$ であるから， $\left|f(x_{N})-c\right|=\left|2^{N}f(x_{0})-c\right|$ である．\\
(i) $f(x_{0})=0$ のとき， $\left|c\right|<\varepsilon$ であるから， $c=0$ である．このとき $\left|2^{N}f(x_{0})-c\right|=0<\varepsilon$ であり，条件を満たす．\\
(ii) $f(x_{0})\neq0$ のとき， $\left|2^{N}f(x_{0})-c\right|\geqq\left|2^{N}f(x_{0})\right|-\left|c\right|=2^{N}\left|f(x_{0})\right|-\left|c\right|$ である． $\left|f(x_{0})\right|>0$ であるから， $\varepsilon_{1}=\varepsilon+\left|c\right|>0$ について， $2^{N_{1}}\left|f(x_{0})\right|>\varepsilon_{1}$ を満たすような自然数 $N_{1}$ が存在する．このような自然数 $N_{1}$ に対して， $2^{N_{1}}\left|f(x_{0})\right|-\left|c\right|>\varepsilon+\left|c\right|-\left|c\right|>\varepsilon$ である．つまり， $\left|f(x_{N_{1}})-c\right|>\varepsilon$ である．これは， $f(x)$ の連続性に矛盾する．（背理法は嫌いだけど用いた）
従って， $f(x_{0})=0$ のみ適する．

以上の議論は $\left|x_{0}-0\right|<\delta$ を満たす任意の実数 $x_{0}$ について成り立つ．よって， $\left|x-0\right|<\delta$ ならば $f(x)=0$ である．

さて， $\left|x_{2}-0\right|<\delta$ とは限らない，任意の実数 $x_{2}$ を別にとる．任意の実数 $x_{2}$ に対し， $x_{3}=\frac 1{2^{N_{2}}}x_{2}$ が $\left|x_{3}-0\right|<\delta$ を満たすような自然数 $N_{2}$ が存在する．このとき， $f(x_{3})=0$ である．

よって， $f(x_{2})=f\left(2^{N_{2}}x_{3}\right)=2^{-N_{2}}\cdot f(x_{3})$ であるから， $f(x_{2})=0$ である．

以上より，任意の実数 $x$ に対して $f(x)=0$ である．

$\boldsymbol{x\neq0}$ で連続

$x>0$ と $x<0$ について別々に考えてよく，対称性から $x>0$ のときだけを考えれば十分である．

$x>0$ で定義される周期1の連続関数を任意に定め， $h(x)$ とする．つまり， $h(x+1)=h(x)$ を満たす．また，関数 $g(x)$ を $g(x)=\log_{2}x$ と定める．このとき，任意の自然数 $N$ に対し， $h\left(g\left(2x\right)\right)=h\left(1+\log_{2}x\right)=h(\log_{2}x)=h\left(g\left(x\right)\right)$ である． $h\left(g\left(x\right)\right)$ は $x>0$ で連続である（証明略）．

このとき，関数 $f_{1}(x)$ を $f_{1}(x)=\frac 1xh\left(g\left(x\right)\right)$ と定める．関数 $f_{1}(x)$ は $f_{1}(2x)=\frac 1{2x}h\left(g\left(2x\right)\right)=\frac 12\cdot f_{1}(x)$ であるので，関数方程式(1)を満たす．