2020/07/07 22:17:42
問題
関数方程式を満たす関数f(x)を求めよ．
発見的解法
考察1
であるときを考える．とすると，より，(1)を満たす．
全ての実数で定義されていることが必要であれば，と定義すればよい．であるから，であることがすぐ分かる．
考察2
同様に考えて，（は任意の定数）と定義すると，このような関数は条件(1)を満たす．
考察3
では，このような関数のみが条件を満たすかというと，そのようなことはない．例えばと定めたとして，影響を受けるようなはどのようなか考えてみる．
（は整数）を満たすようなについては，が直ちに分かる．逆に，それ以外のの値は定めない．
よって，次の関数は条件を満たす．グラフをかくと，ところどころで穴が開いたようなグラフになる．
考察4
別の関数方程式を満たす関数の場合，https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1487297239，https://oshiete.goo.ne.jp/qa/8700628.html等から以下のことが分かる．
実数全体で定義される連続関数であれば，（は任意の定数）である．
で定義される連続関数であるとする．とすると，を満たす．よって，関数は条件(2)を満たす．つまり，定数関数ではないが，条件を満たす関数はいくらでも構成できる．
考察5
関数方程式(1)を満たす，で定義される連続関数について再度考察する．前項を利用すると，以下のような解が構成できる．とすると，を満たす．関数は条件(1)を満たす．
についても，この範囲で連続な関数がやのようにすれば構成できる．
まとめ
関数方程式について，以下のことが分かる．
- 関数は，すべての実数で定義される連続関数で，条件を満たす．
- 関数（は任意の定数）は，で連続で，条件を満たす．
- 関数（は任意の定数）は，で連続で，条件を満たす．
- 不連続な関数であれば，いくらでも見つかる．
分かっていないことに，例えば以下のことがある．
- で連続な関数で，定数関数でない関数は解として存在するか．
構成的解法
全ての実数で連続
が全ての実数で定義され，連続であるとし，関数方程式の解について考察する．
より，任意の自然数に対して，であることが数学的帰納法を用いて証明できる．よって，任意の整数に対して，であることも証明できる．
とする．
関数はで連続であるから，任意の実数に対し，ある実数が存在し，を満たす任意の実数について，である．以下，，は固定する．
を満たす，ある実数を固定する．自然数に対して，と定めると，である．また，であるから，である．\\
(i) のとき，であるから，である．このときであり，条件を満たす．\\
(ii) のとき，である．であるから，について，を満たすような自然数が存在する．このような自然数に対して，である．つまり，である．これは，の連続性に矛盾する．（背理法は嫌いだけど用いた）
従って，のみ適する．
以上の議論は を満たす任意の実数について成り立つ．よって，ならばである．
さて，とは限らない，任意の実数を別にとる．任意の実数に対し，がを満たすような自然数が存在する．このとき，である．
よって，であるから，である．
以上より，任意の実数に対してである．
で連続
とについて別々に考えてよく，対称性からのときだけを考えれば十分である．
で定義される周期1の連続関数を任意に定め，とする．つまり，を満たす．また，関数をと定める．このとき，任意の自然数に対し，である．はで連続である（証明略）．
このとき，関数をと定める．関数はであるので，関数方程式(1)を満たす．
よって，関数方程式を満たす関数が，任意の周期1の周期関数に対して，それぞれ異なるように構成できる．